0.9小數循環等於1嗎

0.9小數循環等於1嗎

一般人都會承認0.3小數循環=1/3,0.6小數循環=2/3,

且0.9小數循環應等於0.3小數循環+0.6小數循環,亦即等於

1/3+2/3=1,所以得出0.9小數循環等於1的道理

或是1/3=0.3小數循環,又1/3×3=1,即0.3小數循環x3=0.9小數循環

所以0.9小數循環會等於1

難道,0.9小數循環是會等於1嗎?或是有其他說明解釋?

原連結


 

(1).我們先重從除法運算來分析:
1=9÷9
=0…9,即商的個位數為0
=90÷9
=9…9,商的小數第一位為9
=90÷9
=9…9,商的小數第二位為9
=90÷9
=9…9,商的小數第三位為9
=90÷9
=9…9,商的小數第四位為9
=90÷9
=9…9,商的小數第五位為9

如此無限地除下去,我們都可以得到下一位的小數為9
意即:0.9小數循環等於1

(2)我們由極限的觀念來分析:
令An=1-1/(10^n),n為自然數

A1=1-1/10=1-0.1=0.9
A2=1-1/100=1-0.01=0.99
A3=1-1/1000=1-0.001=0.999
A3=1-1/10000=1-0.0001=0.9999

(由此模式,我們知道:在n->∞時,An所呈現的狀態即為0.9小數無限循環)
我們來看,n->∞時,An的極限值:
lim_An
n->∞
=lim_1-1/(10^n)
n->∞
=1-1/(10^∞)
=1-1/∞(因為10^∞,等於∞)
=1-0(因為1/∞,等於0)
=1

由(1)、(2)故知:0.9小數循環等於1