圓周長的證明

圓周長的證明

之前剛開始學極限的時候,課本有這一段
lim x→0 (sinx/x) = 1
並且利用這式子推導出圓面積的公式
所以我在想,那圓周長的公式也可以推導的出來嗎?
可以!一定可以!可是我沒方向,哪位高人可以賜教一下.

原連結


我想你是指利用”圓內接無限正n邊形”來證明吧?

半徑 r 的圓,其周長=2πr

<i>假設此圓內接正n邊形邊長為 s ,利用餘弦定理↓

s^2 = r^2 + r^2 – 2*r*r*cos(2π/n) = r^2 [ 2 – 2cos(2π/n) ]

=> s = r*√[ 2 – 2cos(2π/n) ]

=> s = r*√[ 2 – 2cos(2π/n) ] * {√[ 2 + 2cos(2π/n) ] / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]}

=> s = r*√[4 – 4cos^2(2π/n) ] / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]

=> s = r*2*sin(2π/n) / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]

=>圓周長S = lim n→∞ n*s

lim n→∞ n*r*2*sin(2π/n) / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]

先看分母√[ 2 + 2cos(2π/n) ]的部分, n→∞ 時會等於2,先和分子中的2約掉

剩下lim n→∞ n*r*sin(2π/n)

= r*lim (2π/n)→0 [2π*sin(2π/n) / (2π/n)]

= 2πr

 

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