整數上不可分定理

整數上不可分定理

因式分解x^7+x+1

原連結


此多項式在整數上不可約

先證明
若degf(x)=n,存在2n+1個不同的整數m使得|f(m)|為質數,
則f(x)在整數上不可約


[設f(x)可約成g(x)h(x)
則設r=degg(x),s=degh(x) r+s=n
g(x)=1最多有r的根,g(x)=-1最多也有r個根
h(x)=1最多有s的根,h(x)=-1最多也有s個根
所以|g(x)|=1和|h(x)|=1最多有2(r+s)=2n個根
但是
|f(m)|=|g(m)h(m)|為質數,必有|g(m)|=1或|h(m)|=1
m有2n+1個 與上述最多2n個矛盾
故f(x)在整數上不可約]

所以我用程式算出
f(x)=x^7+x+1
當x=1,2,15,21,27,49,76,83,91,96,-1,-6,-9,-28,-32,-40,-100,….時f(x)為質數
正負100之間找到17個(大於2*7+1=15個)
所以f(x)=x^7+x+1在整數上不可約

這是我在做數學題目裡的一個習題
我只是拿他來應用而已
所以 我也不知道是甚麼定理

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