[挑戰]因式分解 X^10+X^5+1

因式分解: X^10+X^5+1

原連結


 

X^10+X^5+1

用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式

x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

**w=(-1+-√3i)/2

國中生可用以下解法
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
 

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