開關燈問題

一百盞燈分別標上號碼1、2、3、4、…、100,第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下,使得每一盞燈都亮了。第二個人把標號是2的倍數的燈的開關各拉一下,依此類推,直到第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下,請問下列哪一盞燈是開著的?
(A)
24 (B) 36 (C) 48 (D)56一百盞燈分別標上號碼1、2、3、4、…、100,第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下,使得每一盞燈都亮了。第二個人把標號是2的倍數的燈的開關各拉一下,依此類推,直到第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下,請問最後有幾盞燈是亮著的?
(A)
8 (B) 9 (C) 10 (D) 11

原連結


題意:第一個人把所有燈點亮
第二個人把2的倍數的開關各拉一下,變關掉

第三個人把3的倍數的開關各拉一下,亮的變暗, 暗的變亮

……….

第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下,亮的變暗, 暗的變亮


想法
:

只有1個因數的會亮

2個因數的會— >— >

3個因數的會— >— >— >

所以有奇數個因數會亮,
偶數個因數會暗 

(1) 請問下列哪一盞燈是開著的?

24=2^3×3, 8個因數, 會暗

36=2^2×3^2, 9個因數, 會亮 

48=2^4×3, 10個因數, 會暗

56=2^3×7, 8個因數, 會暗

答案選(B) 

(2) 請問最後有幾盞燈是亮著的?

想法:
1-100,有幾個數有奇數個因數 

恰有1個因數,
1

恰有3(5,7,9)個因數 :
為完全平方數

做法:

1-100,有幾個完全平方數:

1^2~10^2, 10; 即1, 4, 9, 16,
25, 36, 49, 64, 81, 100

故選(C)

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