[挑戰]解一元的方程式

甲. x^6+1=0

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0


甲. 若x^2+(b-3)x+2=0與x^2-bx-1=0有一公共根,求b=?

乙. x|x|-3|x|+2=0,
求根

丙. 公式解ax^2+bx+c=0時,小王算錯b^2-4ac得二根3,-2,小玉看錯b得二根
-5,2,求原方程式及二根正解

丁. 公式解將b^2-4ac看成b^2+4ac解出二根為1/3,-2,求正確二根為何?


 

甲. x^6+1=0=(x^2+1)(x^4-x^2+1)
x^2+1=0 x=i(複數)
乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 +7
2x^2-3x+6*(2x^2-3x+2)^0.5-14=0

(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=0
令k=(2x^2-3x+2)^0.5
(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=k^2+6k-16
=(k+8)(k-2)=0
k=-8或2(負不合)
k^2=4=2x^2-3x+2
2x^2-3x-2=0=(2x+1)(x-2)=0 x=2或-1/2
x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2
+7丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0
(2-3^0.5)^2x^2+(2-3^0.5)x-2=0
[(2-3^0.5)x-1][(2-3^0.5)x+2)]=0
x=1/(2-3^0.5)=2+3^0.5
或-2(2+3^0.5)


參考過程如下,
請指教

(1)設共同根為k,   k^2+(b-3)K+2=0,
k^2-bk-1=0
   相加消去b, : 2k^2-3k+1=0,
k=1,1/2
   k=1, 代入得: 1-b-1=0,  b=0,
代入兩式檢驗, !
   k=1/2, 代入得: 1/4-1/2b-1=0,  b=-3/2, 代入兩式檢驗, !
   b=0, -3/2   : b=0,
-3/2
 

(2)分為x>=0(|x|=x), x<0(|x|=-x)討論

   當x>=0, 原式=x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1

   當x<0, 原式=-x^2+3x+2=0,

   x=[3+-根號(17)]/2, (正不合, 因假設x<0)

   答 : x為正數時, x=2,1 ; x為負數時, x=[3-根號(17)]/2

(3)小玉看到的是: (x+5)(x-2)=0, x^2+3x-10=0,
    因看錯b原式為
x^2+____x-10=0
    小王看到的是: (x-3)(x+2)=0, x^2-x-6=0,
    因看錯D, 3-2=1=-b/1, b=-1

    得原式為x^2-x-10=0, x=[1+-根號(41)]/2

    答 : 原方程式x^2-x-10=0, 兩根正解x=[1+-根號(41)]/2

 (4)看到的方程式: (x-1/3)(x+2)=0, 3x^2+5x-2=0, 其中-2是錯的

    原方程式為3x^2+5x+c=0, x=[-5+-根號(25-12c)]/2,

    使較大根為較大解得[-5+-根號(25+12c)]/2=1/3,
    根號(25+12c)=7,
c=2,
    原方程式為3x^2+5x+2=0, (3x+2)(x+1)=0,
x=-2/3,-1
    答 :
x=-2/3,-1

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