[課外]一元三次方程式通解

一元三次方程式通解

 令一元三次方程式為  x3 + ax2 + bx + c = 0    

 

 

 

 

其中 abc 屬於 不失ㄧ般性

先消去二次項

   x = y + f  ,帶入此方程式,可得到:

       (y + f)3 + a(y + f)2 + b (y + f) + c = 0

       y3 + ( 3f + a)y2 + ( 3f2 + 2af + b)y + (f3 + af2 + bf + c) = 0

     ( 3f + a) = 0    f = – a/3

   則方程式可改寫成:

       y3 + py + q = 0    _______(1)

   其中  p = ( 3f2 + 2af + b) = (b – a2 /3)

          q = (f3 + af2 + bf + c) = (c – ab/3 + 2a3 / 27)

   接下來令 y = u + v

          y3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3

               = u3 + 3uv(u + v) + v3

               = u3 + 3uvy + v3

          y3 – 3uvy – (u3 + v3) = 0    _______(2)

   (1) 比較係數後,可得到:

        p = – 3uv

        q = – (u3 + v3)

      u3v3 = – p3 / 27

          u3 + v3 = -q

   利用一元二次方程式根與數的關係

   可列出 Z 為未知數,根為u3v3 的方程式

        Z2 + qZ – p3 / 27= 0

   解出 Z = -q/2 ± [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

     u3 = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2 

         v3 = -q/2 – [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

   A = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

        B = -q/2 – [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

   可求出  u = A1/3 A1/3ω A1/3ω2

                 v = B1/3 B1/3ω B1/3ω2

   其中 ω= (- 1 + i3) / 2  x3 = 1 的一個複數根

   p = – 3uv 可判斷出 y 的三組可能解:

      y = (A1/3 + B1/3) (A1/3ω+ B1/3ω2 ) (A1/3ω2 + B1/3ω)

   因此由 x = y + f = y – a/3  即可得出三組通解:

      x  =    (A1/3 + B1/3 – a/3)

         or   (A1/3ω+ B1/3ω2 – a/3)

         or   (A1/3ω2 + B1/3ω– a/3)

   其中  A = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

             B = -q/2 – [(q/2)2 + (p/3)3]1/2

                  p = ( 3f2 + 2af + b) = (b – a2 /3)

             q = (f3 + af2 + bf + c) = (c – ab/3 + 2a3 / 27)

 

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